Hypotesprövning
Vi antar samma målformulering som i introduktionen :| (1) | Y ≥ G | (eller Y ≤ G ) |
Hypotesprövning är den metod som används i (de flesta) vetenskapliga sammanhang och lämpar sig för de fall när uttrycket (1) är ett direkt mål. Den innebär att motsatsen till villkoret (1) falsifieras. Mothypotesen, alltså Y < G, kallas nollhypotes och villkoret (1) mothypotes. Logiken är helt enkelt att om data inte stödjer nollhypotesen så kan den ”förkastas” och man kan påstå att målet (1) är uppfyllt. För att avgöra om data inte stödjer nollhypotesen används en testfunktion (statistika) som är bra på att skilja på de två hypoteserna. Om testfunktionens observerade värde (med data insatta) är osannolikt, givet att nollhypotesen vore sann så förkastas nollhypotesen. Det finns därför alltid en risk att nollhypotesen förkastas även om den är sann och denna risk kallas signifikansnivå. Man väljer den själv, men ett vanligt traditionellt tröskelvärde är 5 %, även om man numera tillåter sig vara mer flexibel vid bedömningen. Det finns också en risk att inte förkasta nollhypotesen, givet att den är falsk. I det senare fallet lyckas vi alltså inte påvisa att villkoret (1) är uppfyllt trots att det är det.
Med hypotesprövning kontrollerar man alltså risken för att felaktigt besluta att målet (1) är uppfyllt genom att använda sannolikhetsbegreppet direkt. Denna metod kräver dock ett ibland stort övermått av skattningen
. Det räcker inte att värdet på överstiger gränsen G med liten marginal, utan det krävs litet mer som följande exempel visar.
Exempel. För många skattningar
kan testvariabeln
| (2) | Z=( - G)/SE() |
användas. Om ett antal förutsättningar är uppfyllda är variabeln Z (åtminstone approximativt) normalfördelad med väntevärde 0 och standardavvikelse 1. Nollhypotesen ovan förkastas då (på 5 %-nivån) om Z ≥ 1.645 (där 1.645 är normalfördelningens 95:e percentil), d.v.s. målet (1) är uppfyllt om
≥ G+1.645 ⋅ SE(). Eftersom är positivt är högerledet här större än G.
Man ska notera att den sannolikhet som kontrolleras är den att påstå att målet är uppnått om det i själva verket inte är det (benämns ofta fel typ I). Det finns också en risk att inte kunna påstå att målet är uppfyllt om det i själva verket är det, alltså i exemplet att testvariabeln Z < 1.645 trots att Y ≥ G (fel typ II). Den senare risken (sannolikheten) beror på ett antal faktorer, varav en är den sanna differensen Y - G (ju större ju mindre risk) och de övriga hänger samman med noggrannheten i skattningen
(ju högre noggrannhet ju mindre risk). Beräkningar av sannolikheten för den senare typen av fel kallas styrkeberäkningar och kan användas för dimensionering av datainsamlingen (samplet).
Val av nollhypotes
Exempel 1 på målformulering var att volymen död ved per hektar (Y) i viss typ av skog ska vara minst 4.8 m3sk (G). Vi ställs då inför frågan om vi ska sätta nollhypotesen till Y ≥ 4.8 eller till Y ≤ 4.8? Svaret är inte självklart utan beror på vem som har ”bevisbördan”. Genom hypotesprövning finns möjligheten att falsifiera en nollhypotes, inte att bevisa att den är sann. Nollhypotesen kan dock inte förkastas (”den anses gälla”) så länge det inte finns belägg för motsatsen.Om nollhypotesen Y ≥ 4.8 väljs gäller alltså att målet är uppfyllt så länge inte motsatsen är bevisad. Denna formulering kallas ”benefit of the doubt”. Bevisbördan kan sägas ligga på ”andra”.
Om i stället nollhypotesen Y ≤ 4.8 väljs gäller att målet inte ska anses uppfyllt så länge vi inte kan bevisa att Y ≤ 4.8 är orimligt med tanke på de data som insamlats. Denna formulering kallas ”fail-safe”. Bevisbördan kan sägas ligga hos ”oss”.
För att förkasta en nollhypotes krävs tillräckligt med data av god kvalitet. Om alternativet benefit of the doubt väljs kan vi därför formellt klara målet genom att se till att det inte finns tillräckligt med data av god kvalitet. Det är därför motiverat att man som nollhypotes bör välja varianten fail-safe. Denna variant leder dock (enligt avsnittet om hypotesprövning ovan) till att det skattade värdet
måste överskrida gränsvärdet G med övermånen 1.645 ⋅ SE(), vilket kan vara ett hårt krav (på sant värde Y och/eller data).
Konfidensintervall
Ett alternativ till beslutsregeln i hypotesprövning är att bilda konfidensintervall, som är intervall inom vilket man kan påstå att det sanna värdet Y ligger. Metoden är ekvivalent med hypotesprövning. Med samma förutsättningar som i exemplet ovan blir (det ensidiga) konfidensintervallet för Y, med konfidensgraden 95 %,| (3) | ( - 1.645⋅SE(), ∞) |
Att
≥ G+1.645 ⋅ SE() (se hypotesprövningen) är detsamma som att G inte ligger i konfidensintervallet, alltså att - 1.645 ⋅ SE() ≥ G, d.v.s. intervallets undre gräns är större än G. Eftersom vi kan påstå att värdet Y ligger någonstans i intervallet måste det vara minst lika med G. Konfidensgraden ska tolkas så att 95 % av påståendena är korrekta. I det enskilda fallet har vi rätt eller fel, och det utan några sannolikhetsutsagor.
